曲率テンソル - kimamanikakuの日記

$A_{\rho:\sigma:\tau}-A_{\rho:\tau:\sigma}$ を計算する。

$A_{\rho:\sigma}$ はテンソルだから、

$A_{\rho:\sigma}=B_{\rho}C_{\sigma}$ と表せるので、

$A_{\rho:\sigma:\tau}=\left(A_{\rho:\sigma}\right)_{:\tau}$

$=\left( B_{\rho}C_{\sigma} \right)_{:\tau}$

$=B_{\rho:\tau}C_{\sigma}+B_{\rho}C_{\sigma:\tau}$

$=\left(B_{\rho,\tau}-\Gamma^{\alpha}B_{\alpha}\right)C_{\sigma}+B_{\rho}\left(C_{\sigma,\tau}-\Gamma^{\alpha}C_{\alpha}\right)$

$=\left(A_{\rho:\sigma}\right)_{,\tau}-A_{\alpha:\sigma}\Gamma^{\alpha}-A_{\rho:\alpha}\Gamma^{\alpha}$

最右辺の3つの項について、第三項は $\sigma,\tau$ について対称だから、相殺する。

第一項

$=\left(A_{\rho,\sigma}-\Gamma^{\alpha}A_{\alpha}\right)_{,\tau}$

$=A_{\rho,\sigma\tau}-\Gamma^{\alpha}_{,\tau}A_{\alpha}-\Gamma^{\alpha}A_{\alpha,\tau}$

第二項 $=-\Gamma^{\alpha}\left(A_{\alpha,\sigma}-\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}A_{\beta}\right)$

$=-\Gamma^{\alpha}A_{\alpha,\sigma}+\Gamma^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}A_{\beta}$

$A_{\rho:\sigma:\tau}-A_{\rho:\tau:\sigma}$ を計算するうえで、第一項の3つ目と、第二項の1つ目も、 $\sigma$ と $\tau$ について入れ替えた文になっているのでこれも消える。第一項1つ目も $\sigma,\tau$ について対称だから、相殺する。よって第一項2つ目と第二項2つ目のみを計算して、 $A_{\rho:\sigma:\tau}-A_{\rho:\tau:\sigma}$ $=A_{\beta}\left(\Gamma^{\alpha}_{,\sigma}+\Gamma^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}-\Gamma^{\alpha}_{,\tau}-\Gamma^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\tau}\right)$ この $\left(\Gamma^{\alpha}_{,\sigma}+\Gamma^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}-\Gamma^{\alpha}_{,\tau}-\Gamma^{\alpha}\Gamma^{\beta}_{\alpha\tau}\right)$ を曲率テンソルといい、 $R^{\beta}_{\rho\sigma\tau}$ で表す。そうすると

$A_{\rho:\sigma:\tau}-A_{\rho:\tau:\sigma}$

$=R^{\beta}_{\rho\sigma\tau} A_{\beta}$