微分幾何1 - kimamanikakuの日記

ある変数 $x^{i}$ に対し、その基底ベクトル $\boldsymbol{e}_{i}$ を

　　　　　 $\boldsymbol{e}_{i}=\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^{i}}$

とする。たとえば

　　　　　 $\boldsymbol{e}_x =\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x}=(1,0,0)$

とか、

　　　　　 $\boldsymbol{e}_r =\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r}=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)$

とか。

ここで、 $x→\overline{x}$ という座標変換を考える。見方が変わろうと(座標が変わろうと)、位置ベクトルそのものが変わるわけではないので

　　　　　 $\boldsymbol{r}(x)=\boldsymbol{\overline{r}}(\overline{x})$ であるから、新しい基底ベクトル $\overline {\boldsymbol{e}_{i}}$ は

　　　　　 $\overline{\boldsymbol{e}_{i}}=\dfrac{\partial \overline{\boldsymbol{r}}(\overline{x})}{\partial \overline{x^{i}}}$

　　　　　 $=\dfrac{\partial \boldsymbol{r}(x( \overline{x}))} {\partial \overline{x^{i}}}$

　　　　　 $=\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^{j}}\dfrac{\partial x^{j}}{\partial \overline{x^{i}}}$

　　　　　 $=\dfrac{\partial x^{j}}{\partial \overline{x^{i}}}\boldsymbol{e}_j$

このような変換をうけるものを共変ベクトルという。

つまりベクトルの共変成分 $A_{i}$ は　　　　　 $\overline{A}_{i}=\dfrac{\partial x^{j}}{\partial \overline{x^{i}}}A_{j}$ という変換をする。

反変成分

ベクトルの反変成分のほうがなじみがある。　　　　　 $\boldsymbol{A}=A^{i}\boldsymbol{e}_i$ と表したとき、この $A_{i}$ をベクトルの反変成分という。

ところで　　　　　 $\boldsymbol{A}(x)=\boldsymbol{\overline{A}}(\overline{x})$ であるから、　　　　　 $左辺＝A^{j}\boldsymbol{e}_j$ 上の、基底ベクトルの変換則を用いて　　　　　 $右辺 = \overline{A^{i}}\dfrac{\partial x^{j}}{\partial x^{j}}A^{j}$ であるから、これらを比べて $i$ と $j$ を入れ替えると　　　　　 $\overline{A}_{i}=\dfrac{\partial x^{i}}{\partial \overline{x^{j}}}A_{i}$ である。

ベクトルの反変成分はこのような変換則にしたがう。

1.軽量テンソル

　　　　　 $\boldsymbol{A}=A^{i}\boldsymbol{e}_i$

の内積は

　　　　　 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=A^{i}A^{j}\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j$ 　　　　　 $=g_{ij}A^{i}A^{j}$

と表される。 $g_{ij}=\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^{i}}\cdot\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^{j}}$ を軽量テンソルという。

2.クリストッフェル記号と平行移動

第一種クリストッフェル記号

第一種クリストッフェル記号 $\Gamma _{ijk}$ を　　　　　 $\Gamma_{ijk}=\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^{i}}\cdot\dfrac{\partial ^{2}\boldsymbol{r}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}$