∇と位置ベクトル - kimamanikakuの日記

位置ベクトルに∇を作用させたときの公式は覚えやすく、なおかつ便利なので、少しまとめてみます。 $r$ を $x$ とか $y$ で偏微分するの、結構めんどくさいんですよね。

$∇r^n=nr^{n-2}\boldsymbol{r}$

とりあえずこれだけ・・・。

証明(簡潔に):

$∇r^n=\displaystyle\frac{∂}{∂x}(x^2+y^2+z^2)^{\frac{n}{2}}\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{∂}{∂y} (x^2+y^2+z^2)^{\frac{n}{2}}\boldsymbol{j}+\displaystyle\frac{∂}{∂y} (x^2+y^2+z^2)^{\frac{n}{2}}\boldsymbol{k}$

$=(nxr^{n-2})\boldsymbol{i}+(nyr^{n-2})\boldsymbol{j}+(nzr^{n-2})\boldsymbol{k}$

$=(nr^{n-2})\boldsymbol{r}$

以上です。

これをもとにして、こんなこともできます。

$∇(r^n\boldsymbol{r})=(∇r^n)\boldsymbol{r}+r^n∇\boldsymbol{r}=nr^{n-2}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}+3r^n=(n+3)r^n$

$\boldsymbol{E}(x,y,z)$ の発散が0になる計算も、これを使えば簡単にできますね(n=-3ですから、上に代入すれば0になります)。

しっかし、∇の使い方をしょっちゅう間違えてしまう・・・。なーんか計算合わないなあと思って見直したら、ベクトル関数に対して勾配求めてたりとかしょっちゅうです(笑)。気をつけたい。