曲がった空間での慣性の法則

曲がった空間での運動を定式化しよう。初めに導出すべきは慣性の法則であろう。ミンコフスキー時空における慣性の法則は $\dfrac{d^2 x^{\mu}}{ds^2}=0$ であった。

いま、曲がった4次元空間において座標を $x^{\mu}$ とし、それぞれの基底ベクトルを $\boldsymbol{e}_{\mu}$ としよう。このとき、この時空上のベクトルは $\boldsymbol{A} = A^{\mu}\boldsymbol{e}_\mu$ と表せる。慣性の法則を求めるには、 $A^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{ds}$ とすれば、これを時間微分した結果をゼロとすればよいだろう。ただしここで注意が必要である。曲がった空間における微分は、 $\boldsymbol{R}^3$ やミンコフスキー時空での微分とは少し事情が違うのである。

このベクトルの変化は、次のようになる。

$d\boldsymbol{A} = dA^{\mu}\boldsymbol{e}_{\mu} + A^{\mu}d\boldsymbol{e}_{\mu}$

$\boldsymbol{R}^3$ やミンコフスキー時空では、基底ベクトルはどこでも同じであるから $d\boldsymbol{e}_{\mu} = 0$ であった。しかし曲がっている時空では、場所によって基底ベクトルが違うから、この項は必ずしもゼロにならないのである(例：地球の表面で暮らすわれわれにとっては、基底ベクトルとは東西方向と南北方向、そして上空を向く３つのベクトルであるが、東京とロンドンでの基底ベクトルを宇宙から眺めてみれば、これらは実際には全然違う方向を向いている)。とはいえこの $d\boldsymbol{e}_{\mu} = \dfrac{\partial \boldsymbol{e}_\mu }{\partial x^{\nu}}dx^{\nu}$ も4次元空間内のベクトルであるから、4つの基底ベクトルの線形結合で表される。そこで係数を次のようにとろう。

$\dfrac{\partial \boldsymbol{e}_{\mu}}{\partial x^{\nu}} = \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\boldsymbol{e}_{\lambda}$

この $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ をクリストッフェル記号という。これは空間が曲がっているがゆえに生じる係数であって、曲がっていない空間であれば $\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}$ の成分は当然すべてゼロである。これを用いれば、

$d\boldsymbol{A}=\left(dA^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\lambda\nu}A^{\lambda}dx^{\nu}\right)\boldsymbol{e}_{\mu}$

と書き表される。つまり、曲がった空間では、ベクトルの成分 $A^{\mu}$ の微小変化は $dA^{\mu}$ ではなく, $dA^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\lambda\nu}A^{\lambda}$ なのである。曲がった空間での微分を $A^{\mu}_{;\nu}$ と表せば、