測地線の方程式 - kimamanikakuの日記

以下、記法はアインシュタインの規約に基づくものとする。

2つの変数 $(q^1,q^2)$ によって定まる曲面を $S$ とする。この $S$ 上を運動する物体があるとする。

物体の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(q^1,q^2)$

と表せば、

$\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\biggl(\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^i}\dot{q}^i\biggr)$

$=\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q}^i\ddot{q}^i+\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^i∂q^j}\dot{q}^i\dot{q}^j$ 　(1)

と表せる。

ここで(1)式を見る。 $\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^i}$ は、各点における $S$ の接ベクトルである。

一方、 $\displaystyle\frac{∂^2\boldsymbol{r}}{∂q^i∂q^j}$ の方は、接平面の成分と、法線方向の成分に分かれるだろう。そこで、

$\displaystyle\frac{∂^2\boldsymbol{r}}{∂q^i∂q^j}=Γ^k_{ij}\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^k}+h_{ij}\boldsymbol{n}$

と表記することにする。

$\boldsymbol{n}$ は、各点における法線ベクトルである。

これを用いて、 $(1)$ は、

$=\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q}^i\ddot{q}^i+\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^i∂q^j}\dot{q}^i\dot{q}^j$ 　

$=\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q}^i\ddot{q}^i+Γ^k_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^k}+h_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j\boldsymbol{n}$ 　 $(2)$

と表される。

ここで、この曲面上で、慣性の法則がどういう形で表されるかと考える。

各点において、物体にはSの接平面と垂直な力しか働かないという状況のもとでは、

$\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=k\boldsymbol{n}$

と表せる(この $\boldsymbol{n}$ は、各点におけるSの法線ベクトルを表す)。

これと $(2)$ より、

$=\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q}^i\ddot{q}^i+Γ^k_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q^k}=0$

$h_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=k$

とできる。

また、上の一式目については、[tex\displaystyle\frac{∂\boldsymbol{r}}{∂q}^i]は $i=1$ と $i=2$ で互いに独立であるから、結局、

$\ddot{q}^k+Γ^k_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=0$

となる。これを測地線の方程式という。