ラグランジアン - kimamanikakuの日記

いま解析力学の本を読んでいて、ラグランジアンについて具体的な事例を考えてみたいと思ったので書いてみます。平面内での2つの星の運動。原点 $(0,0)$ に位置する質量 $M$ の恒星の周りを動く質量 $m$ の惑星の運動を考えます。

ラグランジアンを用いない計算

まずはラグランジアンを使わずに普通に計算します。

惑星について運動方程式を立てると

　　　　　 $m\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=-∇V(r)$ 　　・・・(1)

まず、左辺について。惑星の位置ベクトルは

　　　　　 $\boldsymbol{r}=\left(\begin{array}{cc} x\\y\\ \end{array}\right)=r \left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)$

だから、

　　　　　左辺 $= m\displaystyle\frac{d}{dt}\biggl( \dot{r}\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right) + r\dot{θ}\left(\begin{array}{cc} -sinθ\\cosθ\\ \end{array}\right)\biggr)$

　　　　　　　　　 $=m\Biggl(\ddot{r}\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)+\dot{r}\dot{θ}\left(\begin{array}{cc} -sinθ\\cosθ\\ \end{array}\right)\Biggr)+m\Biggl((\dot{r}\dot{θ}+r\ddot{θ})\left(\begin{array}{cc} -sinθ\\ cosθ\\ \end{array}\right)+r\dot{θ}^2\left(\begin{array}{cc} -cosθ\\-sinθ\\ \end{array}\right)\Biggr)$

　　　　　 $=m (\ddot{r}-r\dot{θ}^2)\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)+ m(2\dot{r}\dot{θ}+r\ddot{θ})\left(\begin{array}{cc} -sinθ\\cosθ\\ \end{array}\right)$

となる。一方右辺については、

　　　　　 $V(r)=-\displaystyle\frac{GmM}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}$

だから、

　　　　　 $∇V(r)=-\displaystyle\frac{GmM}{r^3}\left(\begin{array}{cc} x\\y\\ \end{array}\right)$ 　

　　　　　 $= -\displaystyle\frac{GmM}{r^2}\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)$

よって、それぞれを運動方程式に代入すれば、

　　　　　 $=m(\ddot{r}-r\dot{θ}^2)\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)+ m(2\dot{r}\dot{θ}+r\ddot{θ})\left(\begin{array}{cc} -sinθ\\cosθ\\ \end{array}\right) =-\displaystyle\frac{GmM}{r^2}\left(\begin{array}{cc} cosθ\\sinθ\\ \end{array}\right)$