kimamanikakuの日記

自分が面白いと感じたことを記事にしています。

曲面の法線ベクトル、接平面等

微分可能な関数z=f(x,y)によって与えられる曲面がある。

 

簡単のため、\displaystyle\frac{∂f}{∂x}=f_xなどと表す。

この曲面の、点(a,b)において

 

(1)接ベクトル 

     : \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ f_{x}(a,b) \end{array}\right): \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ f_{y}(a,b) \end{array}\right)

 

(2)法線ベクトル

     : \left(\begin{array}{c} f_{x}(a,b) \\ f_{y}(a,b) \\-1\end{array}\right)

 

法線ベクトルはこれに平行になる。

(3)接平面の方程式

     : \left(\begin{array}{c} x-a \\ y-b \\ z-f(a,b) \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} f_{x}(a,b) \\ f_{y}(a,b) \\-1\end{array}\right)=0

 

 

 

丸暗記で覚えるのはしんどい。

 

(1)の考え方

曲面上のある点(x,y,z)と、そこから少しだけ離れた点(x+dx,y,z+dz)を考える。接ベクトルとは、まさにこの間のベクトル\left(\begin{array}{c} dx \\ 0 \\ dz \end{array}\right)\のことである。このとき

 

     dz = f(x+dx,y)-f(x,y)=\displaystyle\frac{∂f}{∂x}dx

であるから、

     \left(\begin{array}{c} dx \\ 0 \\ dz \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\  f_x\end{array}\right)dx

 

となるから、結局接ベクトルは

     \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\  f_x\end{array}\right)

 

に平行になる。

 

 

(2)の考え方

z=f(x,y)より、

 

dz=df

 

=\displaystyle\lim_{h\to 0}f(x+h,y+h)-f(x,y)

 

=\displaystyle\lim_{h\to0}\biggl(f(x+h,y+h)-f(x,y+h)+f(x,y+h)-f(x,y) \biggr)

 

=\displaystyle\lim_{h\to0}\biggl(\displaystyle\frac{f(x+h,y+h)-f(x,y+h)}{h} \biggr)h +\displaystyle\lim_{h\to0}\biggl(\displaystyle\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} \biggr)h

 

 =\displaystyle\frac{∂f}{∂x}dx+\displaystyle\frac{∂f}{∂y}dy

 

 つまり、

 

\displaystyle\frac{∂f}{∂x}dx+\displaystyle\frac{∂f}{∂y}dy-dz

 

 =\left(\begin{array}{c} f_x\\ f_y\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} dx \\ dy \\dz\end{array}\right)=0

 

となる。したがって、法線ベクトルは\left(\begin{array}{c} f_x\\ f_y\\ -1\end{array}\right)に平行になる。

 

 

 

 

 

法ベクトルと接ベクトルがうまくイメージできなかったので、少し考えてみました。まあせっかくなので残しとこうかなと。