kimamanikakuの日記

自分が面白いと感じたことを記事にしています。

微分方程式

(1)  y'+ay=0

 

      y'+ay=0  ・・・(1.1)

 

を解く(y'=\frac{dy}{dt})。aは定数とする。

 

(1)の両辺にe^{at}

をかけると、

 

     e^{at}y'+ae^{at}y=0  ・・・(1.2)

 

ところで、積の微分法を用いれば、

 

     \biggl(e^{at}y\biggr)'=e^{at}y'+a e^{at}y  ・・・(1.3)

 

であるから、(2)は

 

     \biggl(e^{at}y\biggr)'=0  ・・・(1.4)

 

と表せる。両辺積分して、

 

     \biggl(e^{at}y\biggr) =C  ・・・(1.5)

 

C積分定数である。これによって

 

      y=Ce^{-at}  ・・・(1.6)

 

というyが得られた。逆にこのyは(1)の式を満たしているため、この方程式の解となる。yを一般解といい、Cに具体的な値を代入したyを特別解あるいは特解という。

 

 

 (2) y'+f(t)y=0

 

       y'+f(t)y=0  ・・・(2.1)

 

y'=dy/dt。ここでf(t)の原始関数をF(t)とする。つまり

 

     \displaystyle\frac{d}{dt}F(t)=f(t)   ・・・(2.2)

 

となります。

 

さて、(1)の両辺にe^{\int{f(t)}dt}をかけると、

 

 

      e^{\int{f(t)}dt}y'+f(t)e^{\int{f(t)}dt}y=0  ・・・(2.3)

 

ところで、積の微分法を用いれば、

 

      \biggl(e^{\int{f(t)}dt}y\biggr)'

 

     =\biggl(e^{\int{f(t)}dt}\biggr)y'+\biggl(e^{\int{f(t)}dt}\biggr)'y

 

     =\biggl(e^{\int{f(t)}dt}\biggr)y'+\Bigl(\int{f(t)}dt\Bigr)'e^{\int{f(t)}dt}y

 

     =\biggl(e^{\int{f(t)}dt}\biggr)y'+f(t)e^{\int{f(t)}dt}y

 

と変形できるから、これを用いて(3)は

 

      \biggl(e^{\int{f(t)}dt}y\biggr)'=0   ・・・(2.4)

 

と表せる。両辺を積分すれば、

 

     e^{\int{f(t)}dt}y =C

 

となる(C積分定数)。 よって、

 

     y=Ce^{-\int{f(t)}dt}

 

となった。 

 

(3) y'+f(t)y=r(t)

 

     y'+f(t)y=r(t)  ・・・(3.1)

 

(2)と同じように、両辺にe^{F(t)}(F(t)f(t)の原始関数)をかけると、

 

      e^{F(t)}y'+f(t)e^{F(t)}y=e^{F(t)}r(t)

 

   ∴   \biggl(e^{F(t)}y\biggr)' = e^{F(t)}r(t)  ・・・(3.2)

 

両辺積分して、

     e^{F(t)}y=\int{e^{F(t)}r(t)dt}

 

     ∴ y=\biggl(\int{e^{F(t)}r(t)dt}\biggr)e^{-F(t)}